17. Окружности

Разбор теории и решение основных типов заданий

Основные понятия окружности и круга


Задания


Легкие задания

Задания посложнее

Сложные задания

 

Легкие задания

[1]

Най­ди­те площадь круга радиусом 4.

В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.


[2]

Найдите пло­щадь квадрата, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти ра­ди­у­са 5.


[3]

Вписанный угол АМС равен 48°. Чему равен угол АВС?


[4]

Найдите угол АСВ, если градусные меры дуг АС и ВС равны 130° и 115°.

 


[5]

В окружности с центром в точке О, хорда АС равна радиусу окружности. Найдите угол АОС.


[6]

Найдите угол А, если центральный угол О окуружности равен 75 градусов.


[7]

Найдите площадь круга, если известно, что высота описанного параллелограмма равна 14.

В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.


[8]

Найдите пло­щадь сектора, если ра­ди­ус круга равен 8, а угол сек­то­ра равен 90°. В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.

 


[9]

Треугольник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла О тре­уголь­ни­ка AОC, если угол AВС равен 43,5°.


[10]

 

Найдите площадь параллелограмма, описанного вокруг окружности радиусом 37, если его основание равно 53.

 


Задания посложнее

[1]

Одна из сторон треугольника АВС, вписанного в окружность, проходит через ее центр. Найдите радиус окружности, если АВ = 8, а ВС = 6.


[2]

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Известно, что радиус окружности равен 18, а расстояние АО = 36. Найдите угол А.


[3]

К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 24, АО = 26.


[4]

AD и BC – диаметры окружности. Угол ADC равен 67°. Найдите угол AOB.


[5]

В угол ве­ли­чи­ной 80° вписана окружность, ко­то­рая ка­са­ет­ся его сторон в точках B и C.  Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла BOC.


[6]

В правильном шестиугольнике проведен угол А. Найдите величину этого угла.


[7]

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АС. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АВ = 8.


[8]

В угол А ве­ли­чи­ной 95° вписана окружность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сторон угла в точках В и С, точка O – центр окружности. Найдите угол ВОС. 


[9]

AD и BC – диаметры окружности. Угол AОВ равен 32°. Найдите угол BСD.


[10]

В угол ве­ли­чи­ной 80° вписана окружность, ко­то­рая ка­са­ет­ся его сторон в точках B и C. На одной из дуг этой окружности выбрали точку M так, как по­ка­за­но на рисунке. Найдите ве­ли­чи­ну угла BMC.

Сложные задания

[1]

Изображенный на рисунке угол равен 80°, а длина дуги, на которую он опирается, равна 10. Найдите длину большей дуги окружности.


[2]

Длина хорды окружности равна 20, а рас­сто­я­ние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности.

 



[3]

На отрезке ОА выбрана точка В так, что ОВ = 15 и АВ = 2. Построена окружность с центром О, проходящая через В. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки А к этой окружности.


[4]

Отрезки MN и KL яв­ля­ют­ся хордами окружности. Найдите рас­сто­я­ние от центра окружности до хорды MN, если KL = 18, MN= 24, а рас­сто­я­ние от центра окружности до хорды KL равно 12.


[5]

К окружности радиусом 75 проведена касательная ВА = 40.  Окружность пересекает отрезок ВO в точке Е. Найдите ВЕ.


[6]

Изображенный на рисунке угол равен 15°, а длина дуги, на которую он опирается, равна 87. Найдите длину большей дуги окружности.


[7]

К окружности радиусом 5 проведена касательная ВА = 12.  Окружность пересекает отрезок ВO в точке Е. Найдите ВЕ.


[8]

На отрезке ОА выбрана точка В так, что ОВ = 56 и АО = 65. Построена окружность с центром О, проходящая через В. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки А к этой окружности.


[9]

Вершины тре­уголь­ни­ка делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых от­но­сят­ся как 6:13:17. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 32.


[10]

Изображенный на рисунке угол равен 20°, а длина дуги, на которую он опирается, равна 14. Найдите длину большей дуги окружности.